PROIEZIONI

Molti problemi di morfologia e di calcolo cristallografico si risolvono con elegante semplicità grazie ad un tipo di disegno in cui le facce vengono rappresentate con punti denominati "poli delle facce", proiettati sul piano. Per intendere il metodo bisogna seguirne lo svolgimento in due tempi considerando prima i poli delle facce sulla sfera e poi la loro proiezione sul piano.

Proiezione sulla sfera
Se si fa coincidere un punto interno di un cristallo con il centro di una sfera di raggio arbitrario (fig. 17), e da questo punto si portano le normali a tutti i piani che delimitano il cristallo, i punti d'intersezione delle normali con la sfera sono i poli delle facce; nella fig. 1, A è i1 polo di a, B di b ecc.
Le perpendicolari a tutte le facce di una zona giacciono su di uno stesso piano che passa per il centro della sfera; i poli delle facce tautozonali si trovano quindi su di uno stesso cerchio massimo ed il corrispondente asse di zona taglia la sfera in due punti opposti (poli dell'asse di zona) ciascuno a 90° con il cerchio massimo. Polo di una faccia e polo di un asse di zona possono coincidere, nella figura 1, N e S sono i poli delle facce e, f ed anche i poli relativi all'asse della zona a, b, c.
L'arco di cerchio massimo compreso fra due poli misura l'angolo fra le normali alle relative facce. Si possono trarre pertanto le seguenti conclusioni:
1 - I circoli massimi rappretentano le zone.
2 - Il polo di una faccia appartenente a due zone è dato dall'intersezione di due circoli massimi.
3 - L'angolo fra due facce corrisponde all'arco di cerchio massimo compreso fra i loro poli.
4 - L'angolo fra due zone è dato da quello compreso fra i corrispondenti poli delle zone.
Praticamente per eseguire la proiezione si deve anzitutto orientare la sfera, stabilire cioè l'asse Nord-Sud e segnare sull'equatore lo zero che è un punto fisso scelto a piacere, indi definire la zona del cristallo che si vuol far coincidere con l'equatore e la faccia il cui polo deve corrispondere allo zero. La posizione di un polo nel caso più generale, si ottiene con le coordinate polari φ (longitudine) ed α (latitudine rispetto a Nord). Se, come nella fig. 17, il cristallo ha le facce normali all'asse della zona equatoriale, i loro poli vengono a coincidere con N e S.

Proiezione stereografica
Diversi sono i metodi per proiettare i punti della sfera sul piano, in cristallografia è molto usato quello della proiezione stereografica. Come piano di proiezione o quadro si sceglie il piano equatoriale e da uno dei due centri di omologia S o N si portano le visuali ai punti P, Q della sfera (fig. 18), le loro intersezioni P', Q' ... con il quadro ne danno la proiezione stereografica. Come sulla sfera così sul piano il polo di una faccia si determina con due dati che, nel caso più generale sono la longitudine φ e la distanza polare ρ. Considerando il triangolo P'OS ai ricava:
ρ = R tang ½α (18)
dove R è il raggio della sfera di proiezione. I poli che si trovano sull'equatore hanno:
α = 90° e 0° ≤ φ ≤ 360°
il cerchio equatoriale coincide con la sua proiezione e si chiama cerchio fondamentale.
I poli dell'emisfero che contiene il centro di proiezione (emisfero sud nella fig 18) hanno α > 90°, la loro proiezione stereografica cade fuori del cerchio fondamentale ad una distanza ρ che va aumentando rapidanente con α. Questo inconveniente si supera limitando la proiezione ad un emisfero soltanto. Qualora però si desideri la proiezione di tutto il cristallo, si rimedia proiettando successivarnente i due emisferi sullo stesso quadro, quello superiore col centro di proiezione S e quello inferiore col centro N. Invertendo così i centri di proiezione, tutti i poli cadono nel cerchio fondamentale. Per distinguere i poli di un emisfero da quelli dell'altro si adottano segni convenzionali diversi, tali da potersi riconoscere anche se sovrapposti: di solito si adotta un cerchietto per i poli dell'emisfero Nord ed un punto per quelli dell'emisfero Sud. Teorema fondamentale della proiezione stereografica è il seguente:
la proiezione stereografica di un circolo è ancora un circolo.
In forza di questo teorema ed in considerazione che ogni circolo massimo interseca l'equatore in due punti diametralmente opposti, si deduce che ogni zona che formi un angolo α con l'asse N-S (rispettivamente 90-α con l'equatore) si proietta come arco di circonferenza avente gli estremi su due punti diametralmente opposti del cerchio fondamentale. Il raggio r della circonferenza è dato dall'equazione:
r = R / sen α (19)
Si consideri infatti la zona AP'B riprodotta nella proiezione stereografica della fig. 18/bis. In base al teorema fondamentale su enunciato si ricava, con la nota costruzione geometrica, che detta semizona fa parte di una circonferenza di centro M e di raggio r = MB.
Per la (18) NBP' = α/2, pertanto è facile ricavare le seguenti relazioni procedendo nell'ordine qui indicato:
NP'B = MP'B = 90 - α/2 = MBP' ; MBN = MBP' - NBP' = 90 - α/2
Considerando allora il triangolo MNB si ottiene:
MB = r = R / sen α
Dalla (19) si deduce:
I circoli massimi (zone) normali all'equatore si proiettano come diametri del cerchio fundamentale (r = ∞): zone rettilinee.
I circoli massimi che hanno α < 90° come archi i quali hanno per corda i diametri del cerchio fondamentale: zone inclinate.

Rete stereografica
La risoluzione dei problemi inerenti alla proiezione stereografica è facilita nella pratica da una guida che agevola il disegno delle zone e permette una rapida lettura degli angoli. Il reticolo proposto dal Wulff (fig. 19) è fra tutti il più comodo ad usarsi. Esso rappresenta la proiezione stereografica di una mezza sfera effettuata soltanto con un duplice sistema di curve, analoghe ai meridiani ed ai paralleli di un reticolo geografico. Il significato delle curve è evidente. La circonferenza che nel disegno originale ha il raggio di 10 cm. è il cerchio fondamentale. I meridiani sono una serie di zone disegnate ad intervalli di 2 in 2 gradi, una è rettilinea e le altre inclinate. I paralleli rappresentano il luogo dei punti ugualmente inclinati rispetto agli estremi del diametro longitudinale, essi dividono le zone (rettilinee, equatoriale, inclinate) di 2 in 2 gradi e servono quindi per la lettura degli angoli fra i poli di una stessa zona. Il parallelo 90° - 270° è anche una zona rettilinea ed è divisa di 2 in 2 gradi dai meridiani; tutti gli altri però non devono considerarsi zone perchè non incontrano il cerchio fondamentale in due punti diametralmente opposti.

Per eseguire una proiezione, si pone il reticolo in una posizione qualsiasi e vi si distende sopra un foglio di carta trasparente che si fissa al centro con uno spillo perchè possa compiere liberamente rotazioni concentriche. Si disegnano il cerchio fondanentale, i due diametri, il punto zero e poi, con procedimento analogo a quello seguito per la sfera, si tracciano i poli della zona equatoriale. Il polo di ogni altra faccia che non sia contenuta nella zona equatoriale si determina con l'aiuto di almeno due dati angolari o zonali i quali possono essere:
- Le coordinate φ ed α.
- Le due zone di cui è intersezione.
- L'angolo che forma col polo di un'altra faccia e la zona che comprende tutte e due.
- Gli angoli che forma con due facce della zona equatoriale o in genere con due facce qualsiasi.
Questi problemi ed altri che ricorrono più di frequente si risolvono col reticolo di Wulff come è detto qui appresso;

1 - Trovare il polo di una faccia di cui si conoscono le coordinate φ ed α.
Si segna sul cerchio fondamentale il punto che corrisponde all'angolo φ e, per rotazione, lo si porta e coincidere con lo zero del reticolo. Sulla metà anteriore del diametro longitudinale, a partire dal centro, si prende la distanza angolare α, il punto che si ottiene è il polo cercato.

2 - Dati i poli di due facce trovare la zona che li comprende.
Si ruota il foglio del disegno fino a portare i due poli su di uno stesso meridiano che sarà la zona cercata.

3 - Proiettati i poli di due facce di una zona e quelli di altre due facce di una seconda zona, cercare il polo della faccia che fa parte di ambedue le zone.
Si tracciano le due zone, la loro intersezione rappresenta il polo della faccia in comune.

4 - Dato un polo P del cerchio fondamentale, si cercano tutti gli altri che formano con esso un angolo α.
Si fa coincidere il polo dato con lo zero del reticolo, il parallelo corrispondente all'angolo α è il luogo dei punti ugualnente inclinati rispetto a P.

5 - Dati i poli di due facce della zona equatoriale, si cerca il polo di una terza faccia inclinata di un angolo α rispetto ad una e di β rispetto all'altra.
Si fanno coincidere successivamente i due poli del cerchio fondamentale con lo zero del reticolo e si disegnano i paralleli relativi ad α e β; la loro intersezione segna il polo della terza faccia.

6 - Dati i poli di due facce si cerca il polo di una terza faccia in zona con esse ed inclinata rispetto ad una delle due di un certo angolo in una data direzione.
Si disegna la zona e si porta su di essa l'angolo dato nella direzione richiesta; il punto che si ottiene è il polo cercato.

7 - Data una zona si cerca il suo polo.
Si porta la zona a coincidere con un meridiano, ed a partire da esso si misura sul diametro orizzontale la distanza corrispondente all'angolo di 90°.

8 - Date due zone si desidera conoscere l'angolo che esse formano fra loro.
Si determinano i poli delle due zone e si legge il loro angolo su di un meridiano.

Proiezione stereografica e calcolo dei rapporti parametrici
Alla fine del paragrafo riguardante i rapporti parametrici (vedi pag 30) è stato avvertito che le terne NX, NY, NZ, si possono calcolare quando siano noti altri angoli del cristallo. La proiezione stereografica è l'unica guida che permette di stabilire, caso per caso, se e come il problema può essere risolto: la fig. 20 è la proiezione stereografica del cristallo di zolfo riprodotto nella fig. 14. Supposto che manchi il piano (100) l'angolo 111/100, si può calcolarlo, per esempio, dall'angolo 111/011; difatti dalla proiezione si ricava 111/100 = 90° - (111/011).
Se poi nel cristallo neppure la (011) fosse presente l'angolo 111/100 si potrebbe dedurlo da µ = 110/111 e η = 110/010; difatti considerando il triangolo sferico rettangolo che ha i vertici nei poli (100), (110), (111) si ricava:
cos (111/100) = cos µ sen η

[Ref. 15; pp. 43-51]